Harmonic Analysis

Analysis on Unit Circle

设是一维单位圆周，在上面可以定义、和等空间，其中的函数都是以1为周期的周期函数。记上的全体复值Borel测度全体组成的空间为。对于任意，都可以定义与之对应的Fourier级数:

其中展开系数为

现在任给，借助可以定义一个新的测度:

于是自然地，所以的Fourier系数为

以上式中的最后一项作为的定义，于是的Fourier级数为

因为是由诱导得到的测度，因此也称右端级数为的Fourier级数。记为的Fourier级数中频率最低的个单波的部分和。

首先我们来考察一下Fourier级数的部分和性质。注意到

其中

称为Dirichlet核，于是可以写成卷积的形式：

此处的卷积定义为。这样的卷积满足以下性质：

1. Young不等式：；
2. 如果共轭，且，则通过改变一个零测集上的值，可以被连续化到中；
3. 任意都有。

更一般地，给定和，可以定义函数与测度的卷积：

可以验证

进而可以被延拓到。

另外，Dirichlet核满足以下性质：

1. 单位性：；
2. 有界性：存在常数使得；
3. 增长速度：存在常数使得。

从上面的性质其实可以看出，并不是一个单位逼近，事实上，由于与卷积的结果只是原本Fourier级数的一个生硬的截断，因此的收敛性同样而言难以保证，但是这不妨碍我们在一些较好的情况下给出一些结果。

Partial Sum of Fourier Series

Riemann-Lebesgue Lemma

如果，则当时。

Proof. 根据定义

注意到，我们有

因此将上式与原本定义合起来就有

当时，根据控制收敛定理(需要特别注意此时的空间要求周期性，所以这里需要特别设计周期函数版本的控制收敛定理)可知。

一般地，当时，借助稠密性定理可知，任给，存在满足。又注意到根据绝对值不等式

所以

根据之前的分析可知当足够大时，所以。由选取的任意性可知。

Riemann Localization Theorem

如果在的某一邻域内为0，则当时。

Proof. 设当时，则

注意到并不在内，因此无法直接使用Riemann-Lebesgue引理。为了解决这一问题，需要带入的紧致形式并作如下变换

可以验证其中的

于是

根据Riemann-Lebesgue引理可知。

Dini's Criterion

如果在处满足Dini条件：存在使得 则当时。

Proof. 由于具有单位性，在上的积分值为1，所以

现在我们将积分区间拆成和两部分，下面分别验证两部分都趋于0。对于第一部分，注意到

又因为当足够小时，存在使得，所以而由Dini条件可知存在使得

所以

另一方面，与Riemann局部化定理中的证明类似，构造

再次使用Riemann-Lebesgue引理可知

综上可知。

Jordan's Criterion

如果，在处满足Jordan条件：存在的邻域使得是上的有界变差函数，则

Proof. 因为任意有界变差函数都可以被分解成两个单调函数，因此不妨假设在的某邻域内是单调的。注意到

因此只需证明对于任意单调函数都有

下面要求是单调上升的右连续函数（单调函数与他的右连续化仅在可列个点处的函数值不同），满足。任给，选取使得

于是

再次将其中的第二部分重写为

可以验证，于是根据Riemann-Lebesgue引理可知

为了处理第一项，需要使用第二积分中值定理：存在使得

上的第二积分中值定理：
设与是上的两个实值函数，要求是单调的右连续函数，是连续函数，则存在使得

（因此Jordan检验的证明中的右连续性是必要的）

因为，所以只需考虑。下面考察在上的积分：

不难说明第一项有限，即

第二项和第三项可以被进一步估计，于是

因此

证毕。

下面简要给出上面使用到的第二积分中值定理的一个证明：
Proof of the Second Mean Value Theorem for Integrals on . 不妨要求，是单调上升的，令

根据Newton-Leibniz公式可知。根据有界变差函数的性质可知

因为，所以

其中的右连续性保证了是一个测度。于是

根据介值定理可知存在使得

证毕。

Approximant Identities

稍后将看到作为一个卷积核其性质不够好，这使得函数的连续性无法保证其Fourier级数的收敛性。为了改善这一点，一种经典的方法是考虑Fourier部分和的Cesàro和，因为一些发散级数的Cesàro和也可以收敛，这使得我们可以通过Cesàro和来改善Fourier级数的收敛性。

定义

是的前项Fourier级数部分和的Cesàro和。因为，所以根据卷积的线性性可知

其中

称为Fejér核，它具有如下性质：

1. 紧致形式：
   
2. Fourier变换：
   
3. 非负有界性：
   

Fejér核是一种特殊的单位逼近，现在给出单位逼近的定义：

单位逼近 (Approximate Identities) 如果函数族满足以下条件：

1. 归一性：对于任意都有
   
2. 一致有界性：
   
3. 消失性：任给都有
   

则称是一族单位逼近。

除了Fejér核，常见的单位逼近还有box核：

特别需要注意的是Dirichlet核并非单位逼近，容易验证它不具有一致有界性。

Convergence of Convolution with Approximant Identities

给定单位逼近族，那么以下结论成立：

1. ：如果，则
2. ，其中：如果，则

Proof. 首先证明第一条结论。因为是紧集，所以时在上一致连续。任给，存在使得任意和都有

于是

其中关于第二项可以使用作为单位逼近的性质进行控制，第一项可以由的绝对连续性控制，因此

下面证明第二条结论。由于在中稠密，因此任给，存在使得

于是使用Young不等式可知

证毕。

注意到是三角多项式，并且是单位逼近，于是根据上述定理可知上述结论有如下重要推论：

三角多项式空间在 () 和内稠密。

进一步地，对于任意都有。此外，有著名的Bessel不等式和Parseval等式：

Bessel’s Inequality 任意，都有

上述不等式取等当且仅当在中稠密。

Parseval Identity 任给，都有

Fatal Divergence (Pointwise Convergence does NOT hold)

存在，的Fourier级数在某点处发散。

Proof. 证明依赖于一致有界原理：

Uniformly Bounded Principle
给定Banach空间，是从到的一族有界线性算子，则以下两种情形有且仅有其一为真：
1.；
2.存在使得。

现在考虑如下线性算子

因为

所以是有界算子。不难证明，而注意到

于是

所以，根据一致有界原理可知存在使得

证毕。

Convergence of Partial Sums

给定，如果，则 当时，如果，则上述结论依旧成立，即

Proof. 首先说明必要性()。如果对于任意的都成立，则存在常数使得

因此

进而根据一致有界原理可知

下面说明充分性()。因为三角多项式空间在空间中稠密，所以任给，存在三角多项式使得，又因为是三角多项式，所以，于是

证毕。

借助以上定理，可以绘制出如下表格，其中总结了空间内Fourier级数的收敛性：

空间内Fourier级数的收敛性

?	False	True	False

首先考虑两个端点情形：和，相应的结论由如下推论给出。

推论 如果或者，则在相应的范数下不一定收敛到。

Proof. 根据上述定理，为了说明这一推论只需说明。首先当时，我们有

而当时，相应地有

于是。

中间情形中的情形在之前已经被证明成立，一般的的证明较为繁琐，这里不再展开。

Regularity of Fourier Series

Bernstein's Inequality

如果，其中，满足对于任意都成立，则

Proof. 取de-la-Vallee-Poussin核

它满足以下性质：

1. 对于任意都成立；
2. 任给都有。

根据de-la-Vallee-Poussin核的性质可知，于是根据卷积的性质可知

再根据Young不等式可知

于是定理得证。

与Bernstein不等式相对应，如果对于都成立，那么自身可以被的导数反过来控制：

Inverse Bernstein's Inequality

如果，其中，满足对于任意都成立，则 一般地，如果，那么

为了证明上述结论需要以下引理：

引理 如果是非负偶序列 (且)，满足，且任意的都满足凸条件

则存在满足

Proof of Inverse Bernstein’s Inequality. 为了使用上述引理，取

可以验证满足引理的条件（凸性、非负、趋于零），于是存在满足，并且在时，根据的构造可知

根据卷积的性质：，因此与的各Fourier系数全部相等，于是

现在Young不等式可知

证毕。

Necessary Condition of Fourier Series

如果满足：，，则的Fourier系数满足

Proof. 由于且，因此

是一个周期为1的函数，且，满足，于是

注意到

又因为Fejér核是单位逼近，所以

于是

又注意到时有

因此

证毕。

借助上述定理，我们可以构造出一个不是某函数的Fourier级数的三角级数：

推论 如果，满足，则三角级数

不是一个Fourier级数，即不存在函数使得它的Fourier系数为。

该推论的证明只需注意到

因此如果上述级数是某个的Fourier级数，则满足上一个定理的条件，即且

然而又有与定理的结论相矛盾，因此推论得证。

Smoothness and Fourier Coefficient Decay

一般地，函数的光滑性越好，它的Fourier系数的衰减越快：

Smoothness & Fourier Coefficient Decay

函数的光滑性与Fourier系数的衰减速度之间有如下关系：

1. 如果是Hölder连续的()，则
2. 如果是绝对连续的，则
3. 如果是次连续可微的，且是绝对连续的，则
4. 如果是光滑的，则

Proof. (1) 的证明比较繁杂，这里略去。(2) 当是绝对连续的时候，存在使得

于是

进而根据Riemann-Lebesgue引理可知。

(3) 当是次连续可微的时候，根据Fourier变换的性质可知

于是

因此有

(4) 的证明完全类似于(3)。

解析函数 (Analytic function) 如果定义在上的函数关于任意的都存在一个邻域，在其中可以展开成幂级数

则称是一个上的解析函数。上的全体解析函数构成的集合记为。

解析函数是光滑函数的一个特例，它的Fourier系数的衰减速度更快，可以达到指数衰减：

Analytic Function

1. 是解析函数当且仅当光滑且存在使得
2. 是解析函数当且仅当存在和使得

更一般地，如果定义在上的函数关于某给定的存在常数使得

则称，其中是-Gevrey类 (Gevrey Class)。

根据以上定义和之前的定理，我们有以下几个包含关系：

1. ；
2. 时，；
3. 时，。

Sobolev Spaces

这里仅考察一类最简单的Sobolev空间，即，的上标中的表示空间中函数的可积性，表示函数的光滑性。的严格定义如下

其中的范数的定义为

Sobolev Embedding Theorem

任给和，都有如下嵌入关系： 即

Proof. 证明一共分为四步：

Step 1. 根据上一节的结论可知保证

Step 2. 引入二进制级数(Dyadic partial sum)

说明证明定理的结论只需验证以下不等式成立：

Step 3. 证明()，为此需要选取合适的核函数使得

因此原本的范数可以转化为范数

于是只需说明

一种构造的方法是借助之前的de-la-Vallee-Poussin核，即

令

其中。

Step 4. 对进行估计可知

所以有

因为其中的第一部分满足

第二部分则有

所以合起来就得到了

即

证毕。

Fourier coefficients of Borel measure

Higher dimensional case

Analysis on Euclidean Space

Schwarz Space

The Inversion Theorem and Plancherel Identity

Temperated Distributions

Poisson Summation Formula

Sobolev Spaces and Inequality

Littlewood-Palay Theory

选取满足

现在定义

令

可以验证对于任意的都成立。

Littlewood-Palay Operator 为以如下方式定义的线性算子：

其中为或者。另外，记

从定义中可以看出，Littlewood-Palay算子的作用是在频域中提取出某一指定频率的在时域中的分量，相应地，和则是在频域中提取出小于等于某一指定频率和大于某一指定频率的分量。与之前在时域上的分割操作最大的不同是，Littlewood-Palay算子对函数的分割是在频域中进行的。

形式上利用的线性性可知

由此得到了。现在的问题是何种意义下求和收敛，关于这一问题有如下结论：

1. 对于任意的成立；
2. 对于任意的成立。

Proof. 因为Fourier变换是上的一个自同构，因此为了说明第一条结论只需证明

关于第二条结论，回忆起如下等式

于是

由此得到

根据第一条结论可知，所以由的定义以及内积的连续性可知

证毕。

Properties of Littlewood-Palay Operator

Littlewood-Palay Operator in space

设是Littlewood-Palay算子，如下结论成立：

1. 时，如果，则
2. 时，如果，则

Proof. 因为，而，因此

其中。断言是一个单位逼近，于是根据单位逼近的性质可知

对于任意的在范数的意义下成立，其中，于是第一条结论成立。要说明第二条结论只需使用Lebesgue引理即可。

现在给出与之前章节中相对应的Bernstein不等式，这些不等式在估计函数的下降速度时非常有用：

Bernstein Inequality (Littlewood-Palay Operator)

设，且，则

1. 低频估计
2. 单频估计
3. 低频项：快速下降换取正则性
5. 高频项：正则性换取快速下降

Proof. 只给出简单的证明思路：

1. 根据定义，记，于是。使用Young不等式可知

其中。而。

2. 仿照第一条结论可得。
3. 因为，并且根据之前的定义，所以

于是根据Young不等式以及可知

这里的。

4. 使用与上一条类似的技巧可知

在使用与之前类似地使用Young不等式即可得到最终结论。

5. 注意到

因为以及，于是，进而

证毕。

Some Applications

下面给出几个基于Littlewood-Palay理论的应用。

GN Inequality

Gagliardo-Niremberg Inequality

给定正整数，对于任意的和，都有如下不等式成立：

Proof. 该不等式的证明是Littlewood-Palay理论的一个经典应用。首先借助Littlewood-Palay算子可以将分解为高频项和低频项：

下面使用Bernstein不等式分别估计这两项。一方面，使用Bernstein不等式的第三条结论可知第一部分中的低频项的估计为

而对于高频项，使用Bernstein不等式的第五条结论可知

现在通过选取合适的值使得

这样就得到了Gagliardo-Niremberg不等式。

Sobolev Inequality

下面给出之前的Sobolev不等式的简要证明：
Proof of Sobolev Inequality. 在正式证明之前，回忆Sobolev不等式的表述：

其中，，并且，定义在中。

有以下观察：如果令，则，而，因此如果Sobolev不等式成立，那么，通过这一方式就得到了上述不等式的指标关系。下面我们来使用Littlewood-Palay理论来证明Sobolev不等式。

首先不难证明，此即

然而我们需要的是，即

上述结论的证明不像前者那样直接，需要使用到调和分析中的平方函数估计，这里限于篇幅不再详细展开。如果承认该不等式的正确性，那么有

而根据Bernstein不等式的第一条结论可知

所以

证毕。

The Hilbert Transform

Hilbert变换是一个经典的分析工具，尽管它与Littlewood-Palay理论的联系不是很紧密，这里还是给出关于Hilber变换的一些基本事实，它的定义如下：

其中“P.V.”表示以Cauchy主值方式积分，即

所以

因此可以使用卷积形式表示Hilbert变换：。另外，通过改变变量，主值积分可以显式的写为

下面不加证明地给出Hilbert变换的一些基本性质：

1. 是一个线性算子，其中；
2. ；
3. 是自反的，即，其中，；
4. 与微分算子交换：；
5. 与Fourier变换的关系：。

Product Estimates

Product Estimate

如果，则对于任意的都有如下估计

Proof. 当时，直接使用Hölder不等式即可得到结论。下面考虑的情况，首先根据范数的定义可得

接下来分别估计这两项。对于第一项可以直接分析得到

对于第二项，注意到，将其中第一部分改写成

其中。接下来使用Bernstein不等式可得

进而就有

而对于第二部分，我们有

其中倒数第二行使用了Hölder不等式，进而

证毕。

Hardy’s Inequality

应用部分最后给出另一个“硬分析”风格的不等式：

Hardy's Inequality

对于任意的，都有如下不等式成立： 更一般地，对于任意都有 其中的为如下定义的算子

Stationary and Nonstationary Phases Method

最后简单介绍一下相位方法，这是一个在分析学中非常重要的技术，它的基本思想是通过相位函数的性质来估计积分的大小。设是某个光滑函数，，则有以下两种相位方法：

Nonstationary Phase

如果在上，则 其中的足够大，是任意正整数。

Stationary Phase

如果存在使得，而对于其他的有，并且的Hessian矩阵在静位相点处非奇异，即，则 其中。